Глава XII_ТЕЧЕНИЕ ЖИДКИХ И ГАЗООБРАЗНЫХ ТЕЛ

Глава XII
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКИХ И ГАЗООБРАЗНЫХ ТЕЛ
§ 100. Стационарное течение жидкости
При движении жидкости и газа между отдельными частицами возникают силы внутреннего трения, или силы вязкости. Коэффициент вязкости таких веществ, как, например, воздух, вода, относительно невелик, поэтому при определенных условиях (при каких это выясним подробнее далее) можно приближенно рассматривать течение жидкости (или газа) как течение «идеальной» жидкости, т. е. жидкости, лишенной вязкости. Такой жидкости и такого газа, разумеется, нет. Однако течение жидкости и газа во многих практически очень важных случаях можно приближенно рассматривать как течение идеальной жидкости.
Зная законы течения идеальной жидкости, можно уже в них внести поправки, учитывающие влияние вязкости. Такой путь последовательного изучения закономерностей движения жидкости и газа позволяет относительно простыми способами выяснить сложные законы движения вязкой жидкости.
Картину текущей жидкости (газа) можно представить себе при помощи поля вектора скоростей частиц. Каждой точке пространства r соответствует в момент времени t вектор v(r, t) вектор скорости частицы, проходящей через точку r, он зависит от положения точки r и времени t.
Течение жидкости (или газа) называют стационарным, если все величины: скорость, давление, плотность, температура и т. д. остаются постоянными все время в каждом месте пространства, занятого текущей жидкостью. В противном случае движение называется неустановившимся (или нестационарным), и законы течения будут еще сложнее.
Стационарное течение газа по трубам или стационарное течение воды по трубам, каналам и рекам представляет довольно сложную картину, даже и с кинематической точки зрения. Вообще говоря, во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью, скорости частиц различны по величине и по направлению. Дав-


347
ление, под которым находятся движущиеся частицы, также различно, хотя оно закономерно связано с движением частиц. В движущемся газе меняется от места к месту его плотность, поскольку изменяется давление и изменяется температура и т. д.

Рис. 282.
Анализ картины стационарного течения значительно упростится, если мы разобьем текущую жидкость 1) на достаточно тонкие трубки тока. Представим себе в некотором месте жидкости твердое колечко А из тончайшей нити (рис. 282), стоящее поперек потока; проведем траектории всех тех частиц, которые коснулись колечка с внешней стороны. Совокупность этих траекторий и образует трубку. Такую трубку можно продолжить вдоль по течению, стенки ее образованы частицами, которые когда-то прошли вблизи нити кольца; и также вверх по течению ее стенки образованы теми частицами, которые пройдут около нити колечка в свое время.
Жидкость непрерывна, следовательно, и стенку трубки можно мыслить как сплошную, непроницаемую. Скорость частиц на стенках трубки касательна к поверхности трубки. Можно все пространство текущей жидкости разбить на такие трубки тока. Для наблюдения картины течения некоторые трубки тока можно отметить, сделать видимыми. Так, например, в поток воздуха можно выпускать струйки дыма или какого-либо окрашенного газа, а в поток воды в определенных местах краску, как это сделано в демонстрационном приборе для наблюдения картины обтекания тел, показанном на рис. 283. Частицы жидкости, прошедшие вблизи отверстия, из которого

Рис. 283.
1) Далее мы будем подразумевать под потоком жидкости и поток газа, не оговаривая это специально, за исключением тех случаев, когда различие между жидкостью и газом будет существенным.



348
выпущена краска (или дым), отмечают трубки тока в потоке, которые можно наблюдать глазом или фотографировать.
Очевидно, что стенки трубки тока в данном случае образованы траекториями частиц. Частица жидкости, находящаяся в какой-то трубке, так и будет в ней оставаться в течение всего времени движения. Так как сечение трубки мы можем взять сколь угодно малым, то всегда можно считать, что скорость частиц жидкости одинакова в поперечном сечении трубки и направлена перпендикулярно к нормальному сечению трубки.
Течение в трубке тока будет таким же, как и течение без трения в трубке с жесткими стенками, сечение которой достаточно плавно изменяется.
. При неустановившемся течении можно представить себе трубки тока, но они уже не будут образованы траекториями частиц. Действительно, представим векторное поле скоростей v(r, t) частиц в момент времени t. В этом поле можно мысленно провести линии тока такие кривые, касательная к которым всюду совпадает по направлению с вектором скорости v. Эти кривые, проходящие через «колечко», образуют трубку тока. Ясно, что трубка тока, образованная линиями, проходящими через данное «колечко», зависит от времени. Кроме того, следует отметить, что линия тока, вообще говоря, совсем не совпадает с траекторией частицы, потому что, когда частица перейдет в соседнюю точку r+dr, вектор скорости в этой точке за время dt уже изменится на какую-то величину, и т. д. А при построении линий тока принимаются во внимание только скорости в данный момент во всех точках пространства. Линии тока образованы смещениями различных частиц, а траектория движением одной частицы.
Рассмотрим условие постоянства потока массы при течении по трубке. При стационарном течении масса жидкости или газа, прошедшая за единицу времени через любое поперечное сечение трубки, одинакова для всех сечений.
Представим себе трубку с площадью сечения S. Скорость в этом сечении равна v; тогда масса жидкости, прошедшая за секунду через это сечение, равна
(100.1)
где ( плотность жидкости или газа в данном сечении. Тогда в другом сечении трубки площадью S1 количество (масса) жидкости, прошедшей за секунду, должно быть также равно
(100.2)
где v1 и (1 скорость и плотность жидкости во втором сечении трубки. В противном случае количество жидкости между этими двумя сечениями начало бы возрастать и убывать и течение пере1-стало бы быть стационарным.



349
Следовательно, закон постоянства потока массы может быть записан так:
(100.3)
вдоль любой трубки тока.
Если жидкость несжимаема, какой является, например, при обычных опытах вода, то плотность жидкости ( остается постоянной, и поэтому на основании закона постоянства потока массы (100.3) скорость в любом сечении трубки обратно пропорциональна

Рис. 284.
площади поперечного сечения. Таким образом, форма трубки определяет и скорость течения: скорость возрастает там, где трубки тока сужаются, и, наоборот, падает там, где они расширяются (рис. 284).
Такая же картина будет и при течении по широкой трубе, у которой сечение довольно плавно изменяется, так что на расстоянии, примерно равном длине диаметра трубы, ее можно считать с достаточной степенью точности цилиндрической. Если плотность газа или жидкости в такой трубе не изменяется, то при стационарном течении скорость в каждом поперечном сечении обратно пропорциональна площади этого сечения.
Найдем связь между изменением скорости и изменением давления вдоль трубки тока. Проследим частицу жидкости, занимающую некоторый отрезок трубки тока (см. рис. 284). Можно представлять себе течение так, что эта частица движется вдоль трубки, деформируясь и занимая все сечение трубки.



350
Что можно сказать о давлении вдоль трубки тока, если мы будем следить за движением частицы? Совершенно очевидно, что если поперечное сечение трубки тока на данном участке постоянно, то и скорость частицы несжимаемой жидкости остается постоянной. Следовательно, частица на этом участке не имеет ускорения. Если трубка сужается вдоль потока (участок 1 2), то частица жидкости здесь ускоряется, скорость ее возрастает. Если же трубка расширяется (участок 2'3), то частица жидкости замедляется, скорость ее падает на этом участке.
Какие силы сообщают частице ускорение, если трубка горизонтальна? Только силы давления со стороны соседних частиц; следовательно, в сужающейся трубке тока (участок 12) давление должно падать в направлении течения, т. е. давление сзади частицы (ab) должно быть больше, чем спереди, чтобы сообщить частице ускорение и обеспечить нарастание скорости. В расширяющейся трубке (участок 2'3), где скорость частицы уменьшается по течению, давление возрастает, частица (cd) имеет отрицательное ускорение, поэтому давление впереди каждой частицы должно быть больше, чем сзади. Таким образом, зная изменение
сечения трубки тока несжимаемой жидкости, можно качественно определить, как будет меняться давление вдоль трубки. График распределения давления 1) вдоль трубки показан на рис. 284.
§ 101. Основной закон динамики для частицы идеальной жидкости
Каждая частица текущей жидкости (газа) испытывает воздействие со стороны окружающих частиц, это воздействие определяется давлением р. Мы уже видели, что изменение давления определяет ускорение движущейся частицы. Исходя из этих представлений, выведем основной закон динамики для частицы жидкости. Предположим, что выделена частица в форме куба объемом dx=dx1dx2dx3, находящаяся в точке r(х1, х2, х3) (рис. 285). На каждую грань кубика действует сила давления. Например, на грань dx1dx2 снизу действует усилие рdx1dx2, а на противоположную грань усилие

1) Распределение давления определено по закону Бернулли, который выводится в следующих параграфах.

Рис. 285.



351
Поэтому вдоль оси 3 на кубик действует сила

Кроме этого, на частицу действует сила тяготения, равная

направленная противоположно оси 3 (здесь ( удельный вес жидкости). Тогда по второму закону динамики:

или
(101.1)
где v3 компонента скорости по оси 3.
Вследствие достаточной малости объема d( мы считаем, что плотность ( постоянна по всему объему. Также давление р на гранях кубика одинаково во всех точках и одинаковы скорости v.
Аналогичным путем найдем, что в направлении двух других осей
(101.2)
так как сила тяжести направлена вдоль оси 3.
Теперь можно записать три формулы (101.1) и (101.2) в векторном виде. Если е1, е2, e3 единичные векторы по осям координат, то

или
(101.3)

где вектор обозначен символом gradр и называется градиентом 1) давления р, вектор (e3=(g, где g вектор ускорения тяготения.
Формула (101.3) выражает основной закон гидродинамики для идеальной (без трения) жидкости или газа. В нестационарном потоке все величины (, v, p зависят от места r и времени t. В стационарном только от места r, поэтому при рассмотрении стационарного течения удобно воспользоваться представлением о трубках
1) Градиент иногда обозначают с помощью символического вектора , тогда



352
тока: они постоянны, и закон динамики для идеальной жидкости в достаточно тонкой трубке тока можно описать следующим образом. Скорость v=v(s) является функцией только координаты s (координаты вдоль осевой линии трубки). Частица, которая в момент времени t имела координату s, за время dt сдвинется на отрезок ds1 (рис. 286). Скорость частицы в новом положении будет другая, какая-то v1, которую всегда можно представить так:

Следовательно, разность скоростей частицы в момент времени t и момент времени t+dt дает приращение скорости частицы

Заменив в этом выражении смещение частицы ds1 на v(s)dt, получаем
(101.4)
Ускорение частицы при стационарном течении равно производной вдоль оси трубки тока от половины квадрата скорости потока. Поэтому основное уравнение динамики для частицы идеальной жидкости (101.3) в этом случае можно записать так:
(101.5)
Здесь ( угол между вертикалью и направлением осевой линии трубки тока в данном сечении. Это уравнение справедливо для стационарного течения как несжимаемой жидкости, лишенной вязкости, так и для сжимаемого газа, не обладающего внутренним трением.
Остановимся на определении ускорения частицы dv/dt в общем случае нестационарного течения, когда нам известно поле v (r, t). Мы видели, что ускорение частицы вдоль трубки тока в стационарном течении равной vdv/ds , т. е. определяется изменением скорости вдоль трубки. Но этот же результат можно получить, не прибегая к рассмотрению трубок тока.
В момент t скорость частицы, движущейся через точку r, равна v(r, t), а через отрезок времени dt частица будет находиться в точке r+dr и скорость будет равна v(r+dr, t+dt). Тогда приращение скорости этой частицы
(101.6)


Рис. 286.



353
и ускорение =dv/dt. Разобьем приращение dv на две части: в первой определяется (dv)t приращение только вследствие изменения времени, во второй {dv)r приращение v вследствие изменения места частицы (на рис. 287 вычерчена еще скорость v(r+dr, t) скорость, которую имела другая частица, находившаяся в точке r+dr в момент t). Поэтому
(101.7)
где
(101.8)
В стационарном потоке ускорение определяется только (dv)r, так как (dv)t= 0, ибо скорость в каждой точке пространства не зависит от времени. В нестационарном потоке, вообще говоря, оба члена отличны от нуля. Первый член

определяется частной производной от v при r= const. Второй член (дифференциал (dv)r) имеет более сложный вид, он зависит от «производной по направлению», по dr, при t=const, эту производную иногда записывают dv/dr. Вычислять (dv)r нужно как приращение вектора v при изменении места на dr в стационарном потоке. Такое приращение в постоянном векторном поле при перемещении на dr мы уже рассматривали, анализируя малые деформации упругого тела (§ 86). Каждая компонента скорости: v1, v2, v3 является функцией трех переменных: х1, x2, х3. Напомним, что v=v1e1+ v2e2+v3e3 и r=x1e1+х2е2+x3e3, где е1, е2, е3 орты прямоугольной системы координат. Тогда приращения компонент скорости можно записать так:
(101.9)
и Рассматривая систему (101.9), мы видим, что
ее можно представить в виде произведения тензора U на вектор dr=dx1e1+dx2e2+dx3e3 в таком виде:
(101.10)
где
(101.11)
Так как в данном случае идет речь о приращении скорости определенной частицы, которая за время dt сдвинулась из точки r на dr, to dr=vdt. Подставляя это


Рис. 287.



354
в (101.10), получаем
(101.12)
или ускорение частицы dv/dt, учитывая (101.7) и (101.12), теперь можно записать так:
(101.13)
Это и есть общее выражение для ускорения частицы. Первая часть частная производная по t, вторая произведение тензора (101.11) на v. В стационарном потоке dv/dt=0 и
(101.14)
Если скорость, плотность и давление потока зависят только от одной координаты и скорость направлена по этой координате, например, если v1(0, v2=v3=0
и все производные по х2 и х3 равны нулю, то dv1/dt=v1дv1/дx1, как мы видели раньше
в (101.4), где x1=s и v1=v. Давление р также функция только х1, и поэтому уравнение гидродинамики (101.3), если пренебречь тяготением, в этом случае принимает вид

как получено ранее (см. (101.5)).

§ 102. Уравнение Бернулли для стационарного течения несжимаемой жидкости
Для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости из основного уравнения динамики движения частицы вдоль трубки тока легко получить более простое и важное уравнение. В этом случае плотность и удельный вес жидкости остаются постоянными, и поэтому уравнение (101.5) может быть переписано так:
(102.1)
Обозначим через h высоту того места, где находится частица с координатой s; тогда смещение частицы на ds связано с изменением высоты на dh следующим образом (см. рис. 286):
(102.2)
поэтому заменим в (102.1) cos( на -dh/ds и получим
(102.3)
здесь все члены представляют производные по координате s, следовательно,
(102.4)


355
Равенство нулю производной означает, что сумма трех величин остается постоянной вдоль трубки тока, или
(102.5)
Это и есть известное уравнение Бернулли для стационарного течения несжимаемой жидкости. Оно играет фундаментальную роль во всех гидродинамических исследованиях. В уравнении Бернулли р «статическое» давление, давление, сжимающее частицу жидкости; (h изменение давления при изменении высоты
на величину h; (v2/2 называется «динамическим давлением» (см. § 106).
При помощи уравнения Бернулли (102.5) просто решается много сложных задач. Действительно, если мы можем разбить поле текущей жидкости на трубки тока и определить по каким-то соображениям значения давления р0 и скорости v0 в какой-то точке, высота которой h0 нам известна, то, как бы ни изменялись по трубке и скорость, и давление, и высота, величина, вычисленная по формуле (102.5), останется неизменной. Это условие помогает находить неизвестные величины в других местах течения. Как это делается, увидим при анализе различных примеров и задач.
Уравнение Бернулли представляет собой следствие закона сохранения энергии для частицы жидкости, движущейся вдоль трубки тока. Оно следует из того, что работа сил давления должна равняться увеличению суммы кинетической и потенциальной энергий частицы, ведь силы давления представляют внешние силы по отношению к рассматриваемой частице.
Рассмотрим изменение энергии и работу сил давления за время dt при перемещении частицы жидкости, которая в момент занимает участок трубки длиной ds (см. рис. 286). Пусть за это время задний (по потоку) фронт частицы переместился на отрезок ds1, который, вообще говоря, не равен длине частицы ds (на рисунке он показан более коротким). Тогда изменения, которые произошли при перемещении частицы, сводятся к тому, что верхняя косо заштрихованная часть объемом dQ=Sds1 перешла на место нижней косо заштрихованной части, имеющей тот же самый объем dQ; средняя, заштрихованная в клетку, часть не изменила своего состояния за время dt, хотя она через время dt состоит уже из других материальных частиц. Поэтому приращение (уменьшение) потенциальной энергии частицы запишется в виде
(102.6)
если учтем равенство (102.2).
Приращение кинетической энергии равно
(102.7)
где v2 скорость на переднем фронте частицы длиной ds. Работа сил давления при перемещении заднего фронта равна pSds1=pdQ, при перемещении переднего фронта (р+dp)dQ, и работа всех сил давления равна
(102.8)



356
Приравнивая работу сил давления изменению кинетической и потенциальной энергий частицы, получаем
(102.9)
Сокращая на dQds, получаем (102.4); интегрируя его вдоль линии тока, приходим к уравнению Бернулли (102.5).
§ 103. Истечение жидкости из сосуда
Пользуясь уравнением Бернулли (102.5), легко определить скорость весомой жидкости, вытекающей из сосуда. Пусть жидкость вытекает из сосуда, имеющего сбоку отверстие (рис. 288). Отверстие снабжено специальным «насадком», который направляет струю. При истечении вся жидкость в сосуде придет в движение, и ее можно разбить на трубки тока. Точное разбиение жидкости на трубки тока представляет довольно сложную задачу даже

Рис. 288.
при простой форме сосуда. Но нам нет необходимости знать, как идут трубки тока по всему объему текущей в сосуде жидкости, нам достаточно знать, что все трубки тока начинаются на свободной поверхности жидкости и обязательно проходят через отверстие «насадка».
На свободной поверхности жидкости все трубки тока имеют одинаковую скорость v0, одинаковое давление р0 и одинаковую высоту h0, так как поверхность жидкости при истечении опускается вниз, оставаясь горизонтальной, если она значительно выше уровня отверстия. Следовательно, постоянная в уравнении Бернулли (102.5) имеет одинаковую величину для всех трубок тока, равную
(103.1)


357
Заметим, что так будет всегда, когда течение всех частиц идеальной жидкости начинается из одинакового состояния, и тогда постоянная уравнения Бернулли имеет одинаковое значение не только для данной трубки тока, как мы вывели ранее, а для всего пространства текущей жидкости, занятого частицами, вытекающими при одинаковых условиях. Это еще более упрощает анализ течения.
Так как диаметр отверстия мал по сравнению с высотой жидкости в сосуде, то будем считать давление во всем поперечном сечении струи одинаковым и равным окружающему давлению р0. Также и скорость течения в струе для всех трубок тока можно считать одинаковой и равной v. Следовательно, по уравнению Бернулли (102.5)
(103.2)
или
(103.3)
где h высота отверстия, a h0 высота свободной поверхности в сосуде.
Если площадь отверстия составляет ничтожную долю от площади поперечного сечения сосуда, то скорость v0 будет ничтожно мала по сравнению со скоростью v и членом с v20 в формуле (103.3) можно пренебречь. Поэтому скорость вытекающей жидкости равна
(103.4)
так как (/(=g ускорению силы тяжести.
Это так называемая формула Торричелли. Скорость истечения весомой жидкости из отверстия в сосуде равна той скорости, которую получит тело, падая с высоты, равной разности высот отверстия и свободной поверхности h0-h. Отметим, что величина скорости совершенно не зависит от направления к горизонту вытекающей струи. Она будет одинакова, под каким бы углом струя ни вытекала. Поэтому, если направить струю вертикально вверх, то частицы жидкости, как и всякое тело, должны подняться на высоту уровня свободной поверхности жидкости1). Однако из-за трения в жидкости, а главным образом из-за трения о частицы жидкости, падающие вниз, и трения в воздухе струя не достигнет
1) Силы трения (вязкости) при течении воды по резиновой трубке, соединяющей «насадок», из которого вытекает струя, с сосудом, не окажут значительного влияния, если диаметр трубки будет велик по сравнению с диаметром вытекающей струи.




358
уровня жидкости в сосуде (рис. 289, а). Но если направить струю под небольшим углом к вертикали (рис. 289, б), то она поднимется почти до уровня поверхности жидкости.

Рис. 289.
Справедливость формулы Торричелли можно проверить различными способами. Например, можно наблюдать точку пересечения двух струй, вытекающих в горизонтальном направлении из

Рис. 290.
отверстий, находящихся на разной высоте (рис. 290). Если пренебречь вязкостью, то легко показать расчетом, что струи пересекутся на некоторой горизонтали, лежащей ниже нижнего от-



359
верстия на некотором расстоянии, равном расстоянию между уровнем жидкости в сосуде и верхним отверстием. Опыт подтверждает это. Особенно наглядны изменения точки пересечения струй при подливании в сосуд значительного количества воды, при котором уровень воды меняется.
Расчет прост. Если скорость вытекающей жидкости определяется по закону Торричелли, то

(смысл обозначений можно видеть на рис. 290). Время падения частицы до точки пересечения в каждой струе определяется по формулам

В точке пересечения струй удаление от сосуда обеих струй одинаково. При падении частиц горизонтальная компонента скорости не меняется, следовательно, v1t1=v2t2; отсюда

или

§ 104. Давление жидкости, текущей по трубе переменного сечения
На рис. 291 показан прибор, который состоит из стеклянной трубки переменного сечения с небольшими отверстиями в ее стенке. Сама трубка расположена горизонтально, а к отверстиям

Рис. 291.
припаяны вертикальные стеклянные трубочки, которые, наполняясь до определенной высоты, служат манометрами, измеряющими давление в данном сечении трубки. Высота столба жидкости в манометрической вертикальной трубочке пропорциональна давлению частиц текущей жидкости. Жидкость в вертикальной трубочке и, следовательно, в самом отверстии покоится, частицы текущей жидкости, проходящие мимо отверстия, как-то сжаты,




360
находятся под давлением р, а так как давление передается во все стороны одинаково, то для того, чтобы жидкость в отверстии покоилась, давление, создаваемое столбом жидкости в трубочке, должно быть равно давлению р в текущей жидкости.
Мы полагаем, что горизонтальная трубка достаточно тонка, и поэтому давление по каждому поперечному сечению струи текущей жидкости можно считать одинаковым. Поперечное сечение трубки настолько плавно изменяется, что всю горизонтальную трубку можно считать за одну трубку тока.
Пропуская через трубку воду и регулируя скорость воды, мы будем наблюдать высоту уровня в манометрических трубочках, т. е. наблюдать изменение давления р вдоль трубки. Опыт показывает, что давление в наиболее узком месте трубки наименьшее и это давление тем меньше, чем больше скорость течения воды, в согласии с уравнением Бернулли.
Если нам известны величины поперечных сечений в двух местах, где стоят манометрические трубочки, то по разности давлений можно определить количество воды, проходящей через трубку ежесекундно, «расход» воды.
Действительно, пусть поперечные сечения равны S1 и S2, скорости в них соответственно v1 и v2, давления р1 и р2.
Тогда по уравнению Бернулли (102.5)
(104.1)
а из условия постоянства расхода через любое сечение имеем
(104.2)
где, как обычно, (=(g удельный вес.
Решая два уравнения (104.1) и (104.2) с двумя неизвестными скоростями v1 и v2, находим их. Затем находим, что расход равен
(104.3)
Зависимость расхода от разности давлений, выраженная формулой (104.3), положена в основу устройства «водомера» прибора, измеряющего по разности давлений расход жидкости через сечение трубы в единицу времени.
§ 105. Истечение жидкости или газа, находящихся под давлением в сосуде
Если жидкость или газ находятся в сосуде под давлением, много большим, чем давление, создаваемое весом жидкости, то изменениями давления по высоте столба жидкости можно пренебречь и считать, что истечение подчиняется тем же законам, что и истечение жидкости, находящейся в замкнутом сосуде под давлением pн. Поэтому можно просто определить скорость истечения воды из котла, в котором вода находится под постоянным давлением


361
пара в несколько десятков атмосфер, или скорость истечения газа из баллона (рис. 292), в котором давление поддерживается постоянным при помощи компрессора. В этих случаях можно считать константу в уравнении Бернулли постоянной по всему объему текущего газа или жидкости и равной рн, давлению в сосуде, так как скоростью течения в сосуде можно пренебречь вследствие того, что сечение сосуда S много больше сечения отверстия s.
Скорость истечения воды из котла будет равна
(105.1)
как легко вычислить из уравнения (102.5).
Для газа уже нельзя определить скорость по формуле (102.5), ибо плотность газа ( будет изменяться при движении частицы газа к отверстию. Изменение давления вдоль трубки тока можно при стационарном течении записать по (101.5) так:
(105.2)
Но плотность ( теперь уже зависит от величины давления р. При подходе частиц к отверстию давление должно падать: ведь частицы ускоряются в направлении движения. И величина скорости будет зависеть от того, по какому закону изменяется плотность с изменением давления.
Вообще зависимость между давлением и плотностью довольно сложная, так как она связана еще и с изменением температуры вдоль трубки тока. Однако во многих случаях, когда частица движется достаточно быстро, можно считать, как показывает опыт, что давление и плотность связаны законом адиабаты
(105.3)
где ( показатель адиабаты, зависящий от природы газа (для воздуха он равен 1,4), а (н плотность газа в сосуде. Закон адиабаты (105.3) следует из того, что во время расширения частицы не происходит обмена теплом с окружающими частицами.
Подставим зависимость плотности от давления в (105.2) и, преобразуя, получим
(105.4)


Рис. 292.



362
Это выражение можно проинтегрировать вдоль линии трубки тока. Если давление в баллоне рн, а давление в пространстве, куда вытекает газ, равно р0, то интегрировать по давлению нужно от рн до р0, а по скорости от нуля до v0 скорости на выходе:

Выполняя интегрирование и преобразуя, получаем скорость истечения:
(105.5)
Если бы мы полагали газ несжимаемым, то из (105.1) получили бы
(105.6)
Скорость истечения газа из баллона под давлением можно записать так:
(105.7)
Теперь легко оценить ошибку, какую допускают при расчетах, в которых газ полагают несжимаемым; для этого нужно только оценить величину корня в (105.7) при данной разности давлений. Можно убедиться непосредственным расчетом, что при очень маленькой разнице в давлениях рн и р0, равной, например, нескольким процентам, величина корня будет очень мало отличаться от единицы. Тогда можно рассчитывать скорость и течение газа, как для несжимаемой жидкости.
Определим точнее величину ошибки, которую мы делаем, принимая воздух несжимаемым при давлении, близком к атмосферному. Допустим, что разность давлений в сосуде и вне его составляет 10% от атмосферного, и положим, что давление в сосуде рн равно 1 атм, а вне его р0=0,9 атм. Какова была бы скорость истечения, если бы воздух был несжимаемой жидкостью? Подставляя в (105.6) значение плотности воздуха

и величину атмосферного давления
,
получим




363
Вычислим теперь значение радикала в (105.7). Обозначим и

((-1)/(=а, тогда радикал будет иметь такой вид:

разлагаем (1-()а в ряд Тейлора около единицы и получаем

Подставляя это выражение в радикал и преобразуя, получаем

Подставляя сюда (=0,1 и (=1,4, находим, что ошибка в определении скорости составляет примерно 2%. Следовательно, в тех случаях, когда не нужно высокой точности при определении скорости при разностях давлений, меньших 10% атмосферного, можно пренебречь сжимаемостью воздуха и считать течение воздуха течением несжимаемой жидкости.
Очевидно, что при такой малой разности давлений вдоль трубки тока плотность будет изменяться так же мало; процентное отношение изменений давления и плотности будет примерно тем же. Действительно, при адиабатическом расширении газа на незначительную величину относительное изменение давления будет в ( раз больше относительного изменения плотности: ведь из (105.3) получаем dp/p=(d(/(. Небольшое изменение плотности вдоль трубки тока не оказывает влияния на величину скорости, а следовательно, и на характер течения.
§ 106. Давление в критической точке обтекаемого тела
Наиболее распространенным прибором, определяющим скорость потока, является трубка Пито; при помощи этой трубки измеряется и скорость движения тела относительно воздуха, например скорость самолета. В этом приборе используется связь между давлением в «критической» точке обтекаемого тела и скоростью потока.
Если в потоке жидкости и газа находится какое-то тело, которое жидкость обтекает со всех сторон, то трубки тока как-то расходятся вдоль поверхности тела, примерно так, как показано на рис. 293. Поэтому на стороне тела, обращенной к потоку, есть такая точка А, называемая критической точкой, в которой трубки тока расходятся в различные стороны, охватывая тело. Так как поток в критической точке расходится, то очевидно, что скорость его в этой точке должна быть равна нулю и в силу непрерывности вблизи нее будет очень малой. Представим себе трубку тока, «упирающуюся», если можно так выразиться, в критическую точку; эта трубка заштрихована на рис. 293.



364
Тело находится в однородном потоке идеальной несжимаемой жидкости, поэтому на некотором достаточно удаленном расстоянии от тела всюду и давление р0, и плотность (0, и скорость v0
одинаковы; следовательно, константа Бернулли равна1) р0+(0v20/2
для всех трубок тока, или для всех точек потока. Так как в критической точке скорость потока равна нулю, то, следовательно,

Рис. 293.
давление в этой точке рк по уравнению Бернулли (102.5) равно
(106.1)
или
(106.2)
Заметим, что давление в критической точке так же связано со скоростью потока вдали от тела, как и скорость и давление в сжатой жидкости, вытекающей из сосуда (см. (105.1)). Только картина потока в одном из этих случаев зеркально отображает другой.
Давление в критической точке тела, находящегося в потоке, которое в технике часто называют «давлением полного напора», можно измерить манометром. Обычно достаточно длинной трубкой соединяют отверстие, сделанное вблизи критической точки, которую правильнее было бы называть критической областью, с манометром. Давление в критической точке тела, находящегося в потоке, дает нам константу Бернулли для этого потока, называемую «полным напором». Зная полный напор, можно определить скорость потока в любой точке, если известно статическое давление р0 в потоке и плотность жидкости (0.
Проще всего взять в качестве обтекаемого тела трубку, открытое отверстие которой направлено к потоку. Другой конец трубки соединен с манометром, измеряющим давление в трубке. Иногда вместо трубки берут цилиндрическое тело с закругленным концом
1) В этой задаче полагаем, что членом (h можно пренебречь, ибо изменение высоты очень мало. Если нужно, то этот член всегда можно учесть.


365
(рис. 294), по оси которого сделано отверстие А, соединенное трубочкой с манометром. Этот цилиндр, укрепленный на соответствующей державке, направляют отверстием А к потоку так, что критическая область лежит в зоне отверстия.
Для определения скорости потока v0, кроме полного напора рк, нужно знать и статическое давление в потоке р0. Статическое давление в потоке определяют примерно так, как измеряют давление в трубке с текущей жидкостью (см. рис. 291). Там в стенке

Рис. 294.
трубки делались отверстия, к которым и присоединялись манометрические трубки. Здесь для измерения давления в потоке устанавливают цилиндрическое тело так, что его образующая направлена вдоль линий тока в невозмущенном потоке 1), и измеряют давление в некотором небольшом отверстии на стенке этого тела. Если сечение трубки тока, проходящей вблизи отверстия, будет таким же, как и сечение этой трубки вдали от тела, то давление у отверстия будет равно давлению вдали от тела 2). Отверстие посредством трубки соединяют с манометром, который и показывает статическое давление р0.
Отверстия для определения статического давления в потоке часто делают на поверхности того же цилиндрического тела, посредством которого измеряется давление полного напора. В трубке Прандтля, сечение которой схематически показано на рис. 294, отверстия для измерения статического давления находятся на
1) Это требование всегда выполняется, если ось цилиндра направлена по потоку и диаметр его ничтожно мал по сравнению с поперечными размерами струи потока.
2) Строго говоря, давление будет одинаково, если и температура в этих точках одинакова.



366
некотором расстоянии от переднего конца цилиндра (примерно на расстоянии 35 диаметров), там, где трубки тока выравниваются. Эти отверстия посредством специальной резиновой трубки соединены с манометром, измеряющим статическое давление р0 в потоке.
Зная давление полного напора рк и статическое давление р0, можно по уравнению (106.1) определить скорость набегающего потока.
Величину рс=(0v20/2 называют динамическим или «скоростным»
напором. Ее можно непосредственно измерить, если к манометру подвести с одной стороны полный напор рк, а с другой статическое давление р0, тогда манометр покажет разность рс, или динамический напор. По величине динамического напора определяют скорость.
Заметим, что для определения скорости воздуха приближенно можно пользоваться формулой
(106.3)
где скорость v измеряется в м/с, а разность давлений, или скоростной напор, рс=h в миллиметрах водяного столба. Эта формула следует из (106.2), если считать, как это принято в инженерной практике, плотность воздуха

Для определения скорости сжимаемого газа (например, воздуха) при значительной скорости 1) необходимо уже учитывать изменение плотности и рассчитывать связь между давлением и скоростью в трубке тока так же, как это было сделано в § 105. Формулами (105.5) и (105.7) можно пользоваться для вычисления скорости по давлению, если вместо рн поставить рк давление в критической точке. Но при очень большой скорости потока, близкой к скорости звука в газе, и эти соотношения неверны, так как при этих значениях скорости потока возникает новое явление «скачок скорости и давления» перед телом, о котором будет сказано ниже, в § 120.
§ 107. Изменение давления поперек трубок тока
При определении давления в трубке тока (§ 100) мы полагали, что давление остается постоянным в любом поперечном сечении трубки. Там принималось во внимание среднее давление по поперечному сечению не только потому, что трубка очень небольшого
1) Как уже было сказано в § 105, при скорости, меньшей 130 м/с, ошибка, которую мы сделали, полагая воздух несжимаемым, меньше 2%.



367
сечения, но и потому, что определялось ускорение частицы только вдоль оси трубки.
Если трубка тока прямолинейна в данном месте, т. е. осевая линия трубки представляет собой прямую линию, то частица жидкости может иметь ускорение только в направлении оси трубки, поэтому давление должно быть одинаковым в любом сечении у противоположных стенок трубки и, следовательно, точно одинаковым по всему поперечному сечению. В тех же местах, где осевая линия трубки искривляется, давление в поперечном сечении не может быть постоянным. Действительно, частица, двигающаяся по искривленной трубке тока, обладает центростремительным ускорением v2/R,
где R радиус закругления осевой линии трубки (рис. 295). Поэтому на частицу должна действовать сила, расположенная в плоскости закругления и направленная перпендикулярно к линии тока, сила, равная

где S площадь сечения трубки, a ds длина частицы жидкости.
Такую силу может создать только давление окружающих слоев текущей жидкости. Поэтому и должна быть разность давлений на сторонах трубки тока в плоскости закругления. Эту разность давлений можно очень просто вычислить, если положить, что сечение трубки имеет вид прямоугольника со сторонами h и а, S=ah. Тогда по второму закону динамики в направлении, перпендикулярном к линии тока, можно записать:
(107.1) Сокращая на ah ds, получаем
(107.2)
Если трубка тока достаточно тонкая, то (p1-p2)/h можно заменить на дp/дR и формулу (107.2) можно переписать так:
(107.3)


Рис. 295.


368
Это равенство означает, что давление изменяется поперек трубок
тока, когда они искривляются, причем падение давления дp/дR происходит к центру закругления оси трубки.
Например, при обтекании тела (см. рис. 293) давление в точке D должно быть больше, чем в точке Е, и, наоборот, в N должно быть больше, чем в М. Следовательно, по искривлению линий тока всегда можно сделать определенные заключения об изменении давления в направлении, перпендикулярном к линиям тока, ибо частицы могут искривить свой путь только при наличии определенной . разности давлений.
Так как давление на поверхность тела определяет силы, действующие на тело со стороны потока, то анализ изменения давления поперек трубок тока позволяет сделать ряд полезных заключений о силах, действующих на тело, находящееся в потоке жидкости и газа.
§ 108. Распределение давления во вращающейся жидкости
Размешивая чай в стакане, можно наблюдать поверхность вращающейся жидкости она принимает параболическую форму. Представим себе стакан или другой цилиндрический сосуд на диске центробежной машины (рис. 296).
Если диск вращается с угловой скоростью со, то через некоторое время все частицы жидкости будут двигаться по окружности так, что жидкость останется неподвижной относительно стенок стакана. Так как частицы по трубке тока движутся по кругу радиуса r, то давление в горизонтальной плоскости будет возрастать по мере удаления от оси вращения. Градиент давления вдоль радиуса r по (107.3) будет равен 1)
(108.1)
Заменим в (108.1) окружную скорость частицы v через (r и получим
(108.2)
это уравнение можно проинтегрировать по r:

или
(108.3)
1) Так как движение стационарное, то давление р в горизонтальной плоскости можно считать функцией только от r.


369
Отсюда видно, что давление в горизонтальном сечении сосуда возрастает пропорционально квадрату расстояния от оси вращения. Как известно, давление в каждой точке жидкости должно быть одинаково по всем направлениям, поэтому и уровень жидкости должен повышаться с расстоянием от оси. Действительно, изменение давления в вертикальном направлении возникает только за счет веса жидкости; поэтому для того, чтобы частица жидкости покоилась относительно стакана, необходимо, чтобы уровень жидкости над кольцевой площадкой радиуса r1 был выше уровня жидкости в центре на величину h. Давление, создаваемое весом жидкости на горизонтали, проходящей через нижнюю точку свободной поверхности (точку О на рис. 296), равно h(, и оно должно равняться давлению
((2r21/2 где r1 расстояние рассматриваемой точки до оси. Поэтому

или

так как (=(g, где g ускорение силы тяготения. Высота уровня жидкости растет пропорционально квадрату расстояния от оси вращения, т. е. свободная поверхность представляет собой параболоид вращения, как и наблюдается в опытах.
Форма свободной поверхности показывает изменение давления вдоль радиуса. Но можно это проверить еще и таким образом: бросить в стакан с водой, вращающийся на центробежной машине, небольшие кусочки вещества тяжелее воды, все они через некоторое время расположатся внизу у стенки стакана. Кусочки вещества, плавающего на поверхности воды, будут собираться вблизи точки О.
Интересно проследить, как будут вести себя в стакане кусочек свинца и шарик воска, связанные ниткой, (воск легче воды). Попробуйте в качестве упражнения сами проанализировать результат такого опыта. Каково будет распределение давления во вращаю-

Рис. 296.



370
щемся сосуде, если он закрыт со всех сторон? Каковы будут распределение давления и форма поверхности, если центр стакана с водой расположен не на оси машины?
Отметим, что в рассмотренном случае движения частиц жидкости при вращении сосуда постоянная Бернулли сохраняет свою величину только для одной трубки тока и различна для разных линий тока. Вспоминая (102.5) и учитывая (108.3), можно записать для трубки тока

так как трубки тока горизонтальны, то член, в который входит h, можно не принимать во внимание. Величина р0 давление на оси зависит только от глубины и равна (Н (см. рис. 296). Следовательно, постоянная Бернулли (Э) изменяется и с глубиной, и с расстоянием от оси вращения.
§ 109. Количество движения жидкости и газа
Во многих случаях при анализе сложного движения жидкости или газа можно воспользоваться законом изменения количества движения. Для вычисления и определения сил, действующих на тело и жидкость, поступают следующим образом: выделяют в текущей жидкости сообразно с условиями задачи некоторый объем пространства, занятого жидкостью. К жидкости, проходящей через выделенный объем, применяют закон изменения количества движения. Этот закон для стационарного течения можно сформулировать так: сумма внешних сил, действующих на частицы жидкости данного объема, равна изменению за единицу времени количества движения жидкости выделенного объема.
Внешние силы состоят из сил, приложенных к каждой частице жидкости, находящейся в выделенном объеме (часто такими бывают только силы тяготения), и из сил давления, действующих на поверхность выделенного объема. Для определения изменения количества движения за секунду в общем случае стационарного течения нужно сначала определить изменение количества движения жидкости, проходящей через очень малый участок поверхности.
На каком-то малом участке поверхности dS=ndS (рис. 297), на котором скорость можно считать одинаковой, количество жидкости, проходящей ежесекундно («поток» массы), равно
(109.1)
где dS площадь участка поверхности и ( угол между внешней нормалью к поверхности и скоростью. «Поток» массы это количество жидкости, вышедшей за секунду через данный участок



371
поверхности из рассматриваемого объема, и он является скалярной величиной. Поток, выходящий из объема, имеет знак плюс, а поток входящий знак минус.
Произведение потока массы (109.1) на вектор скорости v
(109.2)
является векторной величиной и дает то количество движения жидкости, которое имеет жидкость, уходящая за секунду через некоторый участок поверхности из рассматриваемого объема.
Для участка, на котором жидкость входит в данный объем, тем же выражением (109.2) определяется количество движения, которое «входит» с жидкостью в данный объем за секунду (см. рис. 297). Складывая (или интегрируя) изменение количества движения по всем небольшим участкам, составляющим полную поверхность выделенного объема, найдем полное приращение количества движения жидкости за секунду в данном объеме. Это будет векторная величина, равная сумме всех внешних сил, действующих на данный объем, сумме сил тяготения и сил давления на поверхность выделенного объема.
Заметим, что формулировка закона изменения количества движения справедлива как для жидкости, так и для газа, только при движении газа необходимо учитывать зависимость плотности от давления при определении величины количества движения.

Рис. 297.
§ 110. Сила реакции текущей воды
Применим закон изменения количества движения для определения реакции протекающей жидкости на трубу, по которой она течет. Всякий наблюдал, как резко разворачивается гибкий шланг для поливки улиц, когда в изогнутый шланг пускают струю воды. Изогнутый шланг должен был бы изменить направление количества движения воды (рис. 298), но силы, приложенные к объему текущей воды со стороны изогнутого шланга, очень малы, поэтому шланг выпрямляется, так что количество движения выходящей жидкости совпадает по направлению с количеством движения входящей.
Определим реакцию воды на кран, показанный на рис. 299. Выделим объем жидкости так, как указано на рис. 299 пунктиром; поверхность его совпадает с внутренней поверхностью крана и двумя его поперечными сечениями А и В. Поперечное сечение трубы



372
крана не меняется, поэтому и скорость v в каждом сечении одинакова по абсолютной величине. Тогда количество движения жидкости, ежесекундно входящей в данный объем, равно
(110.1)
где, как обычно, ( плотность воды, vA скорость и S площадь поперечного сечения крана. Вектор количества движения КA направлен перпендикулярно к сечению А. Количество движения ежесекундно выходящей из выделенного объема жидкости КB численно равно модулю КA, но направлено к нему под углом 90°. Поэтому вектор изменения количества движения направлен так, как показано на рис. 299, и равен в данном случае силе
(110.2)
а величина его

Теперь рассмотрим силы, действующие на выделенный объем. Действием силы тяготения можно пренебречь 1), поэтому остаются только силы давления по поверхности выделенного объема. Рассмотрим их последовательно. Силы давления в сечениях входа А и выхода В жидкости одинаковы, если пренебрежем вязкостью воды. В самом деле, из уравнения Бернулли следует, что вдоль трубки тока при одинаковых скоростях будут и одинаковые давления. Давление на выходе струи равно атмосферному. Силы атмосферного давления на входе и выходе струи уравновешиваются давлением на кран извне, и поэтому их результирующая сила на кран равна нулю, так же как атмосферное давление на пустой кран не дает результирующей, если пренебречь подъемной силой воздуха.
Остается только действие сил давления крана на воду по остальной части поверхности выделенного объема. Сумма этих сил, или результирующая сила давления крана на вытекающую жидкость, равна F ежесекундному изменению количества движения, величину и направление которого мы знаем из (110.2). Поэтому реакция вытекающей жидкости на кран равна и противоположна
1) Эта сила тяжести жидкости, находящейся в объеме, практически очень мала по сравнению с искомой силой. Очевидно, что учет этой силы не представляет особого труда.

Рис. 298.



373
вектору изменения количества движения F, она проходит через точку О (см. рис. 299), точку пересечения линий направления количества движения входящей и выходящей жидкости.

Рис. 299.
Определим силу действия на сосуд струи жидкости, вытекающей из него (рис. 300). По уравнению Бернулли (102.5) скорость истечения равна
(110.3)
где р0 давление над жидкостью в сосуде 1), h высота уровня над отверстием. Выделим объем жидкости, как показано на рис. 300. Ради простоты вычислений положим, что сосуд имеет прямоугольное горизонтальное сечение, и потому рассмотрим силы давления и изменения количества движения жидкости только на поверхностях, нормальных к струе; во всех остальных направлениях изменение количества движения жидкости равно нулю. Поэтому будем рассчитывать и силы и приращение количества движения в направлении скорости струи.
Если поперечное сечение струи S0, то изменение количества движения за секунду по направлению струи равно
(110.4)
1) Точнее, р0 величина, на которую давление в сосуде превышает атмосферное.


Рис. 300.



374
где Q массовый ежесекундный расход. Сосуд действует на жидкость с силой F=(K, а реакция R жидкости на сосуд равна величине F и противоположно направлена. Силу R называют реактивной силой, она в точности равна реактивной силе, определенной по формуле Мещерского (§ 27).
Реактивную силу вытекающей струи можно определить опытным путем, если измерить силу, действующую на сосуд, при помощи динамометра, как это схематически показано на рис. 300. Примерно таким же способом измеряют силу тяги реактивных двигателей и ракет.
Интересно проследить, как реактивная сила передается на стенки сосуда. Реактивная сила создается вследствие разности давлений на стенки сосуда, разности, возникающей при вытекании струи. Давление на задней стенке (рис. 300) можно считать равным р0 плюс гидростатическое давление (h (( удельный вес жидкости, а h глубина точки), ибо скорость течения у этой стенки очень мала, ничтожно мала по сравнению со скоростью в струе вытекающей жидкости. Давление на передней стенке сосуда (см. рис. 300), на той стенке, в которой находится отверстие, не будет равным давлению на задней стенке. Если бы это было не так и давления на передней и задней стенках были бы одинаковы, то они уравновешивались бы во всех противолежащих площадках, за исключением площадки S'=S0, расположенной на задней стенке против отверстия площадью S0. Поэтому общая сила давления жидкости на заднюю стенку, как и следовало ожидать, будет больше. Определим величину силы давления на площадку S', полагая размеры ее очень малыми по сравнению с h. Эта сила F', очевидно, будет равна
(110.5)
Учтем формулу (110.3) и запишем:

сравнивая это с (110.4), видим, что сила F' ровно в два раза меньше реактивной силы R. Поэтому считать давление на противоположных стенках сосуда одинаковым неправильно, т. е. нельзя пренебрегать скоростью течения у передней стенки вблизи отверстия, вследствие которой давление в этой области будет понижено. Для точного определения изменений распределения давления на стенки сосуда нам нужно было бы рассчитать все течение в сосуде, что представляет очень сложную задачу, а по закону изменения количества движения задача об определении силы реакции решается просто без такого расчета.
Из этих рассуждений видно, что падение давления у передней стенки вблизи отверстия дает силу, равную половине реактивной силы R. Заметим, что этот вывод справедлив только тогда, когда наименьшее сечение струи S0 равно площади отверстия, а это не всегда имеет место.
До сих пор мы предполагали, что струя выходит из «насадка» с довольно плавными переходами от вертикальной стенки, в этом случае струя выходит из отверстия параллельными трубками тока, заполняя все отверстие примерно так, как показано на рис. 301, а. Если не сделать плавных переходов к «насадку» от стенок, то струя будет сжиматься (рис. 301, б). Такое сжатие струи легко объяснить. Крайние струйки жидкости, подходящие к отверстию вдоль стенки, далее вследствие своей инерции стремятся к центру струи, и только под давлением частиц, идущих ближе к центру струи, крайние линии тока выпрямляются. В этом случае минимальное сечение струи, сечение в том месте, где трубки тока практически выпрямляются, меньше сечения отверстия. Величина отношения площади минимального сечения струи к площади отверстия зависит от формы краев отверстия и определяется опытным путем.



375
В случае острого края отверстия площадь сечения струи много меньше площади отверстия, но больше половины этой площади. Если струя выходит из трубочки с острыми краями, направленной внутрь сосуда (рис. 301, в), то площадь минимального сечения струи в точности равна половине площади отверстия.

Рис. 301.
Здесь скоростью течения вдоль вертикальной стенки сосуда, в которую вделана трубка, можно вполне пренебречь, так как вертикальная стенка сосуда удалена от отверстия. Тогда давление на противоположных участках стенок сосуда одинаково и сила реакции по (110.5) должна быть равна
(110.6)
где S0 площадь отверстия трубки. А из закона изменения количества движения сила реакции должна быть равна
(110.7)
где Sc площадь поперечного сечения струи в самом узком месте (рис. 301, в). Сравнивая (110.6) и (110.7), заключаем, что
(110.8)
или сужение струи (отношение площади струи к площади отверстия) равно 1/2. Это соотношение хорошо подтверждается опытами.

Рис. 302.
Применение закона изменения количества движения особенно полезно там, где легко определить направление и скорость струи. Например, при падении струи на лопатку колеса турбины с желобками такого вида, как показано на рис. 302, б, сила давления будет в два раза больше, чем при падении струи



376
такой же скорости и сечения на плоскую лопатку, показанную на рис. 302, а. Конечно, при таких условиях приближенно можно считать, что скорость струи при ударе о лопатку с желобками остается неизменной по величине, и скорости движения лопаток и в том и в другом случае одинаковы и достаточно малы по сравнению со скоростью движения частиц в струе.


§ 111. Течение вязкой жидкости в трубе
Во многих случаях допустимо пренебречь силами вязкости и приближенно анализировать явление так, как если бы силы вязкости отсутствовали. Это желательно делать не только потому, что еще не известны общие методы анализа течения при учете сил вязкости, но главным образом потому, что в ряде практически важных примеров результаты опытов с обычной жидкостью в пределах известной точности согласуются с результатами теоретического анализа течения «идеальной» жидкости. Важно только знать, когда пренебрежение вязкостью не ведет к принципиальным и большим ошибкам.
Как известно, силы вязкости пропорциональны изменению скорости потока в направлении, перпендикулярном к скорости, и, следовательно, они будут сказываться особенно резко там, где эти изменения скорости велики. При обтекании вязкой жидкостью твердых тел частицы жидкости, непосредственно прилегающие к телу, как бы «прилипают» к нему и имеют нулевую скорость относительно тела. Поэтому в непосредственной близости от поверхности твердого тела скорость потока нарастает от нулевого значения до некоторой величины. Дальше от тела изменения скорости потока сравнительно малы, и там совершенно ничтожно влияние вязкости.
Слой окружающей тело жидкости, в котором нарастает скорость и в котором влияние вязкости существенно, называется пограничным слоем. В некоторых случаях этот слой очень тонок и влиянием его можно пренебречь: течение вязкой жидкости или газа близко к тому течению, которое имело бы место при обтекании этого тела идеальной жидкостью, лишенной вязкости. В других случаях пограничный слой не будет тонким, и тогда уже нельзя пренебрегать вязкостью. Так, например, при течении' вязкой жидкости в узкой трубе такой слой может заполнить весь объем текущей жидкостью, и при анализе этого течения необходимо учитывать силы вязкости.
Произведем опыты с измерением распределения давления манометрическими трубками в жидкости, текущей по горизонтальной трубе постоянного сечения (рис. 303). Если жидкость достаточно вязкая, например глицерин или какой-нибудь сироп, или труба достаточно тонкая, то давление будет падать равномерно вдоль трубы. Это можно видеть по тому, что уровни во всех равноотстоящих друг от друга манометрических трубках лежат на наклонной прямой (см. рис. 303). Если .бы жидкость была невязкой, то



377
уровни во всех трубках были бы одинаковы, давление вдоль трубки было бы постоянным.
Действительно, жидкость можно считать вполне несжимаемой, поэтому скорость течения в каждом сечении трубки одинакова, ведь трубка имеет постоянное сечение, а по уравнению Бернулли и давление должно было быть одинаковым. В данном случае в вязкой жидкости на частицу, кроме сил давления, действуют еще и силы вязкости, поэтому при стационарном течении с постоянной скоростью давление падает вдоль трубки тока.
Течение происходит вдоль трубы прямолинейно, скорости всех частиц направлены вдоль оси трубы, следовательно, силы вяз-

Рис. 303.
кости будут действовать только в направлении оси трубы. Падение давления вдоль трубки тока уравновешивается силами вязкости, и поэтому скорость течения жидкости остается постоянной вдоль трубки.
Рассмотрим подробнее стационарное течение вязкой жидкости в прямой горизонтальной трубе постоянного сечения. Давление в каждом поперечном сечении можно считать одинаковым. Если этого не было бы, то линии тока изгибались бы или возникали бы течения поперек трубы. Все частицы жидкости, прилегающие к стенке круглой трубы, прилипли к ней и имеют скорость, равную нулю, кольцевой слой, прилегающий к ним, из условия симметрии должен иметь по всей окружности одинаковую скорость. Если представим себе жидкость разделенной на достаточно тонкие концентрические кольцевые слои, то скорость в каждом таком слое одинакова; поэтому величину скорости течения можно полагать только функцией расстояния r данной частицы от оси трубы.
Выделим из объема текущей жидкости цилиндр радиуса r, длиной dl (рис. 304) и напишем условия движения цилиндра.



378
Жидкость движется равномерно, следовательно, сумма всех сил, приложенных к выделенному цилиндру, равна нулю. Разность сил давлений на концах цилиндра

должна быть уравновешена силами вязкости, приложенными на поверхности цилиндра. Сумма сил вязкости равна площади боковой поверхности цилиндра 2(rdl, умноженной на напряжение сил
вязкости (. Равенство нулю всех внешних сил, действующих на цилиндр, теперь можно записать так:

или
(111.1)
По закону Ньютона (см. (39.1)) напряжение сил вязкости
пропорционально производной от скорости в перпендикулярном
направлении, в направлении радиуса,
(111.2)
где ( коэффициент вязкости жидкости и знак минус стоит потому, что скорость убывает с увеличением радиуса. Подставляя (111.2) в равенство (111.1), получаем
(111.3)
Величина градиента давления вдоль оси трубы dp/dl не зависит от радиуса, так как давление р в любом поперечном сечении одинаково. Поэтому из уравнения (111.3) можно найти зависимость скорости течения от радиуса, проинтегрировав это уравнение по радиусу, учитывая при этом, что у стенки скорость v(R)=0,
(111.4)
где R радиус трубы. После вычислений получаем

или
(111.5)


Рис. 304.




379
Давление равномерно падает в направлении скорости, и поэтому величина dp/dl положительна и постоянна. Скорость будет максимальна на оси трубы, и распределение величины скорости по диаметру трубы происходит по параболическому закону (рис. 305). Максимальная скорость равна

Распределение скоростей течения вязкой жидкости в трубе можно наблюдать по движению границы раздела двух различно окрашенных жидкостей. В вертикальной трубке налит окрашенный сахарный сироп (рис. 306, а), а сверху нужно аккуратно налить тот же сироп, но без краски. В состоянии покоя граница раздела горизонтальна. После открытия крана внизу трубки начинается медленное движение вязкой жидкости, и граница раздела начинает изменять с течением времени свою форму, все вытягиваясь по оси (см. рис. 306, а).
Зная распределение скорости, можно подсчитать объемный расход жидкости Q через поперечное сечение трубы. Через кольцо радиуса r и площадью

Рис. 305.

Рис. 306.
2(rdr за секунду пройдет объем жидкости dQ=v2(rdr (рис. 306, б), а через все сечение
(111.6)
Здесь мы приняли во внимание формулу (111.5).


380
Пользуясь этим законом, можно построить простой прибор для измерения коэффициента вязкости ( жидкости, схема которого дана на рис. 303. Величину dp/dl можно вычислить на основании результатов измерения давления в различных точках трубы. Так как давление падает пропорционально длине, то
(111.7)
где рн давление в начале, а рк в конце отрезка трубы длиной l.
Величину расхода Q можно измерить непосредственно, измерив количество жидкости, прошедшей за определенное время через трубу. Зная радиус трубы R, можно на основании этих данных определить коэффициент вязкости ( жидкости.
Течение жидкости в цилиндрической трубе, при котором скорости частиц всюду направлены вдоль оси, называется ламинарным или слоистым. Такое течение наблюдается при небольшом
значении скорости потока вязкой жидкости. С увеличением скорости потока, с увеличением перепада давления на концах трубы, течение принципиально изменяет свой характер: вместо спокойного слоистого течения наблюдается турбулентное, или завихренное, течение.

Рис. 307.

Рис. 308.
Возникновение завихренного течения легко наблюдать, если в стеклянную трубочку, по которой протекает вода из сосуда, пустить подкрашенную струйку (рис. 307, а). При небольшой скорости потока течение будет слоистым и подкрашенная струйка в виде почти прямой линии будет идти параллельно оси трубки (рис. 307, б). Затем, при постепенном увеличении скорости потока, внезапно начинается завихренное движение и струйка размывается в широкую ленту с неровными краями, как показано на рис. 307, в.
При стационарном турбулентном движении скорость в данном месте не остается постоянной по величине и направлению, а совершает быстрые беспорядочные колебания как по величине, так и по направлению. Но среднее значение скорости будет постоянной



381
определенной величиной, направленной вдоль оси трубки. Поэтому в завихренном потоке чаще всего определяют среднее значение скорости.
Чем определяется возникновение турбулентности, мы скажем ниже, в § 113, а здесь отметим, что распределение средней скорости при турбулентном потоке по диаметру трубы совсем иное (рис. 308), отличное от того, что мы видели при ламинарном движении (см. рис. 305). При завихренном движении средняя скорость почти по всему сечению трубы остается почти постоянной и только вблизи стенок быстро спадает до нуля; пограничный слой вблизи стенок занимает сравнительно небольшую долю потока, а' в центре поле скоростей почти однородно и более похоже на то, которое должно быть в трубе при отсутствии вязкости жидкости. При слоистом движении (см. рис. 305) нет четкого пограничного слоя, во всех частях трубы поле скоростей изменяется из-за сил вязкости так же, как вблизи стенок; можно даже сказать, что в этом случае пограничный слой занимает весь поток жидкости.



DdX Ddћ Dd« 15

Приложенные файлы

  • doc 23640113
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий