9 Определение перемещений в статически определимых стержневых системах методом Мора


9.1. Понятие о перемещениях в плоских стержневых системах
Перемещения в балках. Вычисление перемещений необходимо для расчетов балок на жесткость. Расчет на жесткость относится к второй группе предельных состояний. При изгибе балок рассматривают два вида перемещений – линейные и угловые. Линейные перемещения оси балки – это вертикальные перемещения, которые называются прогибами. В соответствии с введенными ранее обозначениями для перемещений будем обозначать прогибы буквой v. На рис. 9.1 пунктиром показана ось балки в деформированном состоянии, которая называется изогнутой осью балки. Уравнение изогнутой оси балки можно описать некоторой функцией .

Рис. 9.1. Перемещения в балке
 
Правило знаков для v. Прогибы балки считаются положительными, если происходят в сторону положительного направления оси у, т.е. вниз.
В сопротивлении материалов рассматриваются малые перемещения. В строительных конструкциях максимальные прогибы лежат в пределах 1/200-1/1000 длины балки. В балках возникают также и горизонтальные перемещения и, обусловленные, например, сближением концов балки. Эти перемещения намного меньше перемещений  и, как правило, не рассматриваются. Существует отдельная задача изгиба гибких стержней (гибких нитей), в которых перемещения могут быть значительными, но в данном курсе эта задача не приводится.
Пренебрегая горизонтальными смещениями центров тяжести сечений, будем полагать, что центр тяжести сечения перемещается строго вертикально, при этом сечение поворачивается на угол . Эти углы поворота и называются угловыми перемещениями. Так же, как и прогибы, значения  изменяются по длине балки, т.е.  Следует отметить, что наличие поперечных сил приводит к искривлению сечений, однако с некоторым приближением можно считать, что и при поперечном изгибе справедлива гипотеза плоских сечений. Отсюда следует, что угол поворота сечения равен углу поворота касательной к изогнутой оси балки.
Правило знаков для . Углы поворота сечений балки считаются положительными, если происходят в направлении хода часовой стрелки.
Перемещения в плоских стержневых системах. В плоских стержневых системах обычно находят три перемещения – два линейных и одно угловое. Линейные перемещения обозначают Δ с соответствующими индексами, а угловое – буквой . На рис. 9.2 пунктиром показана деформированная ось рамы и обозначены перемещения ее некоторых точек. Узел К перемещается вниз и вправо в положение К´, а также поворачивается в направлении часовой стрелки. В точке А ось стержня смещается вертикально и поворачивается, а в точках В и С происходят горизонтальные перемещения и углы поворота. Отметим, что жесткие узлы рам поворачиваются с сохранением прямого угла между смежными стержнями.

Рис. 9.2. Перемещения в раме
9.2. Формула Мора для определения перемещений в плоских стержневых системах
Формулой, имеющей огромное практическое значение для расчета конструкций на жесткость, является формула Мора (9.1), названная по имени немецкого механика и инженера Отто Христиана Мора (1835–1918). жесткость).
 
  (9.1)
 
Иногда формулу (9.1) называют формулой Максвелла – Мора, а стоящий справа интеграл – интегралом Мора.
Замечание. В формуле (9.1) учитываются только те слагаемые, которые соответствуют конкретной задаче. При растяжении (сжатии) стержней отличными от нуля будут только продольные силы N, и остается только первое слагаемое (такой подход используется при вычислении перемещений в фермах при узловой нагрузке). Обычно, при расчете плоских стержневых систем, работающих, в основном, на изгиб (плоские рамы), пренебрегают членами с продольной и поперечной силами, что дает небольшую погрешность результатов (несколько процентов), а в формуле Мора оставляют только второе слагаемое.Таким образом, для плоских рам формула Мора запишется в виде:
 
  (9.2)
 
Здесь:
 KF  – обобщенное перемещение некоторой точки  К  от действия внешних нагрузок  (подчеркнуто вторым индексом  F);
 – грузовая эпюра моментов (функция), полученная от внешних нагрузок;
 – единичная эпюра моментов (функция), полученная от действия единичной обобщенной силы.
Так, для вычисления линейного перемещения какой-либо точки нужно приложить в этой точке единичную силу  и написать функцию (или построить эпюру)  от этой силы, после чего использовать формулу. Для вычисления угла поворота  некоторого сечения вместо единичной силы следует приложить в соответствующей точке единичный момент  и  также найти функцию (построить эпюру)   от этого момента. После этого необходимо воспользоваться формулой  Мора.
Единичная сила   и единичный момент    являются безразмерными величинами, поэтому единичная эпюра   при определении линейных перемещений имеет размерность длины, а при определении углов поворота является безразмерной.
Пример 9.1. Рассмотрим балку, показанную на рис. 9.3. Изгибающий момент в балке от действия равномерно распределенной нагрузки описывается функцией  

Рис. 9.3. К примеру 9.1.
 
Для определения вертикального перемещения т. А приложим в этой точке единичную силу .
Функция единичного момента имеет вид  
Подставляя выражения для обоих моментов в формулу (9.1), получим:
 
.
 
Для определения угла поворота в той же точке приложим единичный момент  направленный по часовой стрелке, предполагая, что угол поворота будет положительным. В этом случае   Из формулы (9.1) находим
 

9.3. Правило А.К. Верещагина «перемножения эпюр»
В 1924 г. студент Московского института инженеров транспорта Андрей Константинович Верещагин (1896–1959), ставший впоследствии инженером-полковником, заметил, что, если для стержня с постоянной жесткостью в формуле Мора одна из функций, стоящих в числителе, является линейной, вычисление интеграла можно упростить и вместо функциональных зависимостей MF (х) и    использовать эпюры соответствующих моментов. Поэтому способ, полученный А.К. Верещагиным для вычисления интеграла от произведения двух функций, называют способом «перемножения эпюр». Слова «перемножение эпюр», поставлены в заголовке в кавычки, поскольку правило относится не к вычислению произведения эпюр, входящих в формулу Мора, а к интегралу от этого произведения. В случае стержневой системы, состоящей из прямолинейных стержней, единичная эпюра  всегда является линейной, и поэтому способ А.К. Верещагина применяется достаточно часто.
Для случая    преобразуем формулу (9.2) к виду:
 
  (9.3)
 
Покажем, как вычисление интеграла в формуле (9.3) сводится к использованию геометрических параметров соответствующих эпюр.
На рис. 9.4 показана грузовая эпюра моментов  МF  от внешних нагрузок, предполагаемая произвольной, и единичная эпюра  , которая предполагается линейной.

Рис. 9.4. К выводу правила Верещагина А.К.
 
Уравнение для линейной эпюры запишем в виде:
 
Интеграл, входящий в (9.3), будет равен:
 

 
Первый интеграл, стоящий в правой части равенства, является площадью эпюры МF, которую обозначим F.  Учитывая, что  второй интеграл, равный   представляет собой статический момент площади   F  относительно оси  у, который равен:
 
где  хС – расстояние от оси  у  до центра тяжести площади F. В итоге приходим к равенству
 
Из рис. 9.4 нетрудно установить, что сумма, стоящая в скобках, равна
,
 
где:  уС – ордината единичной эпюры, находящаяся под центром тяжести грузовой эпюры. Таким образом, для интеграла Мора получим окончательное выражение, называемое способом или правилом А.К. Верещагина:
 
  . (9.4)
 
Правило Верещагина.
 
Интеграл от произведения грузовой и единичной эпюр равен площади грузовой эпюры, умноженной на ординату единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры. 
В случае, когда грузовая эпюра также линейная, в формуле (9.4) можно брать площадь любой из двух эпюр (грузовой или единичной).
Произведение F и уС  следует брать с учетом знака. Оно может быть положительное или отрицательное. Для балок, где знаки на эпюрах моментов ставят (вверху «минус», снизу «плюс»), вычисление знака этого произведения не представляет трудности. В рамах принято знак момента не ставить, а эпюры строить со стороны растянутого волокна. Считают, что если эпюра МF и ордината эпюры  лежат с одной стороны от оси, то их произведение будет положительным, в противоположном случае – отрицательным.
Для балки, состоящей из нескольких участков, и для рам следует вычислять интегралы Мора по каждому из участков конструкции. Во многих случаях площадь грузовой эпюры, и особенно ее центр тяжести, найти затруднительно, поэтому рассмотрим способы разбиения сложных эпюр на простейшие.
Ограничиваясь рассмотрением грузовых эпюр МF, имеющих вид квадратной параболы, приведем способ разбиения сложных эпюр на более простые, указав площади и положения центров тяжести отдельных частей.
На рис. 9.5 показан способ разбиения «равнозначной» трапеции, у которой основания имеют одинаковый знак (рис. 9.5, а), «разнозначной» трапеции (рис. 9.5, б) и квадратной параболы (рис. 9.5, в).

Рис. 9.5. Способы разбиения эпюр
 
Буквами    обозначены площади отдельных частей эпюры. На первый взгляд, трапецию логично разбить на прямоугольник и треугольник, но на самом деле удобнее представить трапецию как сумму двух треугольников, что позволяет ввести единообразие в использование правила А.К. Верещагина. На рис. 9.5, а треугольники  ABD  и  A1B1D1  отличаются по форме, но их можно считать эквивалентными, поскольку, эти треугольники, имеющие одинаковое основание (b) и высоту (l), имеют равную площадь ( bl/2), и их центры тяжести находятся на одинаковом расстоянии (l/3) от основания. Показанная на рис. 9.5, б разнозначная трапеция разбивается на два треугольника, один из которых расположен выше базовой линии, а другой ниже. Если к балке приложена равномерно распределенная нагрузка q, то на соответствующем участке эпюра моментов представляется квадратной параболой (рис. 9.5, в). В этом случае суммарная эпюра разбивается на трапецию, которая рассмотрена выше, и «чистую» квадратную параболу (значения которой на концах участка равны нулю).
 Для определения площади параболы можно проинтегрировать функцию M(x) для балки на двух опорах, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q.
 
На расстоянии х от левой опоры для этой балки:
 

 
  (9.5)
 
где: f = ql2/8 – максимальное значение изгибающего момента посередине балки (эту величину часто называют «стрелкой параболы»), l – длина участка. Центр тяжести лежит посредине параболы.
При разбиении сложных эпюр на более простые формула (9.4) будет иметь вид:
 
  (9.6)
 
где:  – площади простейших фигур, составляющих грузовую эпюру, а  уi – ординаты единичной эпюры под центрами тяжести соответствующих площадей  .
В случае, когда обе эпюры (грузовая и единичная) имеют вид трапеций (рис. 9.6), для вычисления интеграла от произведения этих эпюр существует формула «перемножения трапеций», вывод которой приведен ниже.

Рис. 9.6. К формуле «перемножения трапеций»
 
  (9.7)
 
Значения  a, b, c, и  d  в формуле (9.7) следует брать с учетом знака (выше – ниже оси). Надо разделить длину участка на шесть, а затем перемножить дважды левые ординаты, дважды правые ординаты и, далее, перемножить друг на друга ординаты, расположенные «крест на крест».
Пример 9.2. Вычислим, используя правило Верещагина А.К. прогиб и угол поворота на левом конце балки, рассмотренной в примере 9.1.
На рис. 9.7 показаны грузовая эпюра , а также две единичные  эпюры:  (от вертикальной единичной силы  в т. A)  и  (от единичного момента  в т. А).
Грузовая эпюра разбита на треугольник, площадь которого равна   и «чистую» квадратную параболу площадью  
Для удобства рассуждений стрелками показано положение частей грузовой эпюры относительно оси (сверху, снизу).

Рис. 9.7. К примеру 9.2
 
Ординаты единичных эпюр  под центрами тяжести треугольника и параболы будут равны:
- для эпюры 
;
-  для эпюры 
.
Подставляя полученные значения  и  уi   в (9.6), находим:


Знак «плюс» при перемножении площади на соответствующую ординату получают при условии, что грузовая эпюра и ордината единичной эпюры находятся с одной стороны от базовой линии, а знак «минус» – когда грузовая эпюра и ордината единичной эпюры находятся по разные стороны от базовой линии.
Знак окончательного результата «перемножения» эпюр имеет следующее значение. Положительный результат свидетельствует о том, что перемещение происходит по направлению единичного воздействия, а отрицательный – против.  Так, например, знак «минус» в результате для φА указывает на то, что направление угла поворота сечения балки в т. А противоположно направлению единичного момента, приложенного к балке.
Метод Мора удобен при вычислении перемещений в рамах, поскольку позволяет вычислять не только вертикальные перемещения и углы поворота, но и горизонтальные перемещения.

Приложенные файлы

  • docx 23628838
    Размер файла: 374 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий